METODE NUMERIK

BAB II

PERSAMAAN NON-LINIER
Didalam matematika aplikasi pencarian akar persamaan f(x) = 0 sering dijumpai. Biasanya jawaban analitis dari persamaan di atas tidak ada, sehingga harus dicari jawaban numeriknya yang biasa dilaksanakan dengan metode iterasi.
2.1 Metode Bagi Dua (Bisection)
Pada umumnya, jika f(x) nyata/ real dan kontinu dalam interval dari Xl hingga Xu, serta f(Xl) dan f(Xu) berlainan tanda, yakni :
f(Xl) f(Xu) ˂ 0
Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara Xl dan Xu.
Metode Bagi Dua ( bisection ) disebut juga pemotongan biner, pembagian dua, atau metode Bolzano, yaitu suatu jenis pencarian inkremental dimana interval senantiasa dibagi separuhnya. Jika suatu fungsi berubah tanda sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval di mana perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus.
2.1.1 Langkah-langkah Penyelesaian Bisection :
Step 1 : Pilih taksiran terendah Xl dan tertinggi Xu untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan : f(Xl) f(Xu) ˂ 0.
Step 2 : Taksiran pertama akar Xr ditentukan oleh :


Step 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, dimana dalam akar terletak :
a. Jika f(Xl) f(Xr) ˂ 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka Xu = Xr, dan Lanjutkan ke step 2.
b. Jika f(Xl) f(Xu) ˃ 0, akar terletak pada subinterval ke dua, maka Xl = Xr, dan lanjutkan ke step 2.
c. f(Xl) f(Xu) = 0, akar = Xr, kumputasi selesai.

Contoh :
Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x – x. Harga akar terletak diantara 0 dan 1. Karenanya interval awal dapat dipilih dari Xl = 0 hingga Xu = 1. Dengan sendirinya, taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut :


Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329...):

Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329

Atau dalam bentuk relatif :


Dimana index t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Lalu :
f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653

yang lebih besar dari 0, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi antara Xl dan Xr. Karena itu, akar terletak pada interval antara X = 0,5 dan 1,0. Batas bawah didefinisikan lagi sebagai Xl = 0,5 dan taksiran akar untuk iterasi kedua dihitung sebagai :



Proses dapat dilanjutkan lagi ke iterasi ketiga :
f(0,5) f(0,75) = -0,030 ˂ 0
Karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,75 :
Xu = 0,75






Dan iterasi keempatnya :
f(0,5) f(0,625) = -0,010 ˂ 0
karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,625.
Xu = 6,25




Metode ini dapat diulangi lagi untuk memperoleh taksiran yang lebih halus.

2.1.2 Kriteria Berhenti dan Taksiran Kesalahan
Dari contoh sebelumnya, dicoba menetukan saat berhentinya komputasi yang dilakukan. Diasumsikan bahwa kita akan berhenti jika angka kesalahan turun di bawah nilai tertentu, misal 0,1 %.
Strategi ditempuh karena taksiran kesalahan dalam contoh dihitung setelah sebelumnya kita sudah mengetahui akar sesungguhnya dari fungsi itu. Ini bukanlah merupakan realitas yang gampang ditemui, karenanya tak ada gunanya pemakaian metode ini jika akarnya telah kita ketahui.
Maka diperlukan suatu taksiran kesalahan dimana kita tak tahu mengenai akar sebelumnya.
Sehingga kesalahan relatif aproksimasinya adalah :



Dimana Xr baru adalah akar dari iterasi sekarang dan Xr lama adalah akar dari iterasi sebelumnya.
Harga absolut dipakai karena kita biasanya cenderung memakai besarnya a ketimbang tandanya. Bila │a│ lebih kecil daripada suatu angka tertentu (s), maka komputasi dihentikan.
Pada contoh sebelumnya, dengan menggunakan rumus didapat hasil-hasil seperti tabel di bawah ini.
Iterasi Xr │t│% │a│%
1 0,5 11,8 -
2 0,75 32,2 33,3
3 0,625 10,2 20,0
4 0,5625 0,819 11,1
5 0,59375 4,69 5,3

a tak memberikan taksiran pasti dari kesalahan sebenarnya, gambaran di atas menyarankan secara umum bahwa a cenderung ke arah bawah t. Jug a selalu lebih besar dari t.
Jadi bila a jatuh di bawah s, komputasi dihentikan dengan keyakinan bahwa akar telah diketahui sekurangkurangnya sama telitinya dengan tingkat penentuan awal yang dapat diterima.

2.2 Metode Regulasi Falsi (False Position)
Disebut juga metode interpolasi linier.



Contoh :
Gunakan regulasi falsi untuk menentukan akar dari f(x) = e-x – x. Akar sesungguhnya 0,56714329. Dengan Xl = 0 dan Xu = 1.

Iterasi pertama.
Xl = 0 f(Xl) = 1
Xu = 1 f(Xu) = -0,63212







Iterasi kedua.
F(Xl) f(Xr) = -0,0708 akar pada subinterval I. Xr ada dibatas atas berikutnya.
Xl = 0 f (Xl) = 1
Xu = 0,6127 f (Xu) = -0,0708







Dst.

Kesalahan untuk regulasi falsi berkurang lebih cepat daripada bagi dua disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempatan akar dalam regulasi falsi.

2.3 Metode Secant
Masalah yang didapat dalam metode newton-raphson adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f’(x). Sehingga dengan jalan pendekatan :


Didapat :



Persamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran awal X, tetapi karena f(x) tidak memerlukan perubahan tanda diantara taksiran, maka secant bukan merupakan metode akolade.


Contoh :
Pernyataan masalah : taksiran akar dari f(x) = e-x – x menggunakan metode secant dan taksiran awal X-1 = 0 dan X0 = 1,0

Penyelesaian :
Ingat bahwa akar sesungguhnya adalah 0,56714329…
Iterasi 1 :
X-1 = 0 f(X-1) = 1,000000
X0 = 1,0 f(X0) = -0,63212



Iterasi 2 :
X0 = 1 f(X0) = -0,63212
X1 = 0,61270 f(X1) = -0,07081

Kedua taksiran sekarang pada ruas akar yang sama.



Iterasi 3 :
X1 = 0,61270 f(X1) = -0,07081
X2 = 0,56384 f(X2) = 0,00518




2.4 Metode Iterasi Titik Tetap
Mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sehingga x berada pada ruas kiri persamaan :
x = g (x)
Transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan. Misal :

X2 – 2X + 3 = 0 2X = X2 + 3



Persamaan di atas dapat memperkirakan sebuah harga X, sebagai fungsi dari X. Jadi, dengan adanya tebakan awal Xi, dapat dihitung suatu taksiran baru Xi+ 1 yang dinyatakan :
Xi+1 = g (Xi)
Seperti rumus iterasi lain, maka kesalahan aproksimasinya :



Contoh :
Gunakan iterasi satu titik untuk menempatkan akar dari


Penyelesaian :
Fungsi dapat dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai

Dimulai dari tebakan awal X0 = 0. Maka didapat hasil seperti diperlihat pada tabel di bawah ini.
Iterasi Xi │t│% │a│%
0 0 100 -
1 1,000000 76,3 100,0
2 0,367879 35,1 171,8
3 0,692201 22,1 46,9
4 0,500473 11,8 38,3
5 0,606244 6,89 17,4
Dst.





2.5 Metode Newton-Raphson (NR)



Contoh :
Pernyataan masalah : gunakan NR untuk menaksir akar dari
dengan X0 = 0.

Penyelesaian :
Turunan pertama dari fungsi adalah :


Yang dapat disubtitusikan ke dalam persamaan :



Dimulai dari tebakan awal X0 = 0, didapatkan hasil seperti disajikan pada tabel berikut ini.
Iterasi, i Xi │t│%
0 0 100
1 0,500000000 11,8
2 0,566311003 0,147
3 0,567143165 0,000022
4 0,567143290 ˂ 10-8

2.6 Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n variabel dari m persamaan adalah sebagai berikut :









Pada contoh di atas, x1, x2, ..., xn adalah variabel-variabel yang tidak diketahui nilainya, dan a11,a12, ..., amn adalah koefisien-koefisien dari sistem persamaan tersebut, sedangkan b1, b2, ..., bm adalah konstanta.

2.7 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier.







Contoh :
2x1 – 7x2 + 4x3 = 9
x1 + 9x2 - 6x3 = 1
-3x1 + 8x2 + 5x3 = 6

Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :






Untuk menjelaskan eliminasi gauss, maka dibentuk suatu matriks sebagai berikut :






Kita kalikan baris 1 dengan ½, tambahkan (-1 x baris 1 yang baru) kepada baris 2, dan tambahkan (3x baris 1 yang baru) kepada baris 3.




Operasi di atas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem persamaan asli menjadi :







Perhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks adalah :






Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2 dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada baris 3.





Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi :







Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang baru).





Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2)




Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4, x2= 1, x3 =2
dan invers matriks [B] adalah













Jadi kalau di ‘resume’
















2.8 Metode Cramer
Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu system persamaan linier berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A) = 0 .
Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal. Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) = 0 sedangkan nilai x dan b adalah :







Maka penyelesaian untuk X adalah :



Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan vektor b .
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier berbentuk




a. Periksa apakah metode cramer dapat digunakan?
b. Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk ?
Penyelesaian :




















2.9 Metode Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.

Contoh :
X1 + 2X2 + X3 = 2
3X1 + 6X2 = 9
2X1 + 8X2 + 4X3 = 6

Penyelesaian :

1 2 1 2
3 6 0 9 -3b1 + b2
2 8 4 6 -2b1 + b3

1 2 1 2
0 0 -3 3 b2 & b3 ditukar tempat
0 4 2 2

1 2 1 2
0 4 2 2 ¼ b2
0 0 -3 3

1 2 1 2 -2b2 + b1
0 0 -3 3
0 4 2 2

1 0 0 1
0 1 ½ ½
0 0 -3 3 -1/3 b3

1 0 0 1
0 1 ½ ½ -½b3 + b2
0 0 -3 -1

1 0 0 1 X1 = 1
0 1 0 1 X2 = 1
0 0 1 -1 X3 = -1

2.10 Iterasi Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.
Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Bila diketahui system persamaan linier sebagai berikut :






Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:







Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.
Catatan: Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusunan yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.

Contoh :
Selesaikan sistem persamaan linier:










Penyelesaian :

























Nilai iterasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai iterasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian: