Cinta yang sejati ialah ketika orang yang kita cintai memilih apa yang terbaik untuk dirinya dan kita menyulam semangat baginya untuk mengapai semua mimpi2nya. Mencintai bukan berarti harus memiliki itu ialah sebuah penggalan kata bijak yang telah tercipta jutaan tahun yang lalu, dengan demikian berati tak selamanya cinta itu dapat memiliki. Namun bila kita telah mencintai seseorang dengan tulus maka kita akan merasa memiliki apa yang harus kita perjuangkan untuknya .Kita akan tetap bertahan meski ia menyuruh kita pergi, Kita akan tetap menantinya walau ia menyuruh kita berlari.yang sejati adalah ketika air matamu menitik dan kau menghapusnya karena kau tak ingin ia bersedih, dan dia lah senyummu ketika saat itu hati mu tersakiti.... Cinta sejati ialah ketika aku menuliskan kata2 yang indah dan ia tersenyum dengan bahagia karena ia dicintai oleh orang yang akan selalu ada untuknya..!
Hari demi hari pun terus kita lalui bersama, berbagai bentuk halangan dan rintangan kita alami.. dan Saat itulsh kita akan tersadar akan sebuah cinta yang sejatinya menjadi milik setiap orang yang menginginkannya. ketahuilah bahwa Dalam hidup ini hanya ada dua hal yaitu cinta dan benci. Tapi benci diawali dari sebuah cinta sejati. Yang sejatinya itu tidak memiliki arti yang berkesinambungan...
Mungkin malam ini adalah malam yang sangat berharga bagimu dan apalagi bagiku, karna malm ini kita berbagi keluh kesah tentang hubungan kita demi mencapai kebahagiaan yang sesungguhnya dimasa depan..
Dan ketika semua itu berakhir hanya ada satu yang bertahan hidup... Yaitu arti cinta itu sendiri!! sebuah kata sebuah makna yang membuat manusia dapat hidup selama bertahun-tahun Semua diawali dari cinta dan semua diakhiri oleh sebuah cinta kembali...
Kamis, 02 September 2010
Arti Cinta
Jumat, 25 Juni 2010
METODE NUMERIK
BAB III
INTERPOLASI
3.1 Pengertian Interpolasi
Interpolasi dalam pengertian matematika adalah perkiraan suatu nilai tengah dari satu set nilai yang diketahui. Pengertian interpolasi yang lebih luas merupakan upaya mendefinisikan suatu fungsi analitik yang tidak diketahui atau pengganti fungsi yang rumit yang tidak mungkin diperoleh persamaan analitiknya. Apabila y = f(x) suatu fungsi dengan nilai-nilai :
Dan jika (xn) merupakan fungsi sederhana sembarang sehingga variabel x0, x1, ..., xn memberikan nilai yang sama dengan f(x), maka bila f(x) digantikan dengan (xn) pada interval yang diketahui, inilah yang disebut proses interpolasi dan fungsi (xn) adalah rumusan interpolasi bagi fungsi.
3.2 Ekstrapolasi Richardson
Perhatikan persamaan di bawah ini.
dengan a2, a4, ... konstanta yang tergantung pada f dan x. Bila informasi ini diketahui maka dapat digunakan Ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh hampiran yang lebih akurat.
Definisi suatu fungsi ϕ (h) dengan
Dari persamaan (a), dapat dilihat bahwa ϕ (h) adalah hampiran untuk f’(x) dengan error O (h2). Misalkan hitung ϕ (h) untuk suatu h dan kemudian hitung ϕ (h/2). Dari persamaan (a) diperoleh :
Bila persamaan kedua di atas dikali dengan 4, kemudian kurangkan, maka diperoleh :
Atau dapat ditulis :
Jadi dengan menambahkan
diperoleh hampiran untuk f’(x) dengan error O(h4). Prosedur yang sama dapat dilakukan berulang-ulang untuk menghilangkan error dengan suku yang lebih tinggi. Prosedur ini dinamakan Ekstrapolasi Richardson.
Misal ϕ suatu fungsi dengan
dengan a2k konstanta yang tidak diketahui. Asumsikan bahwa ϕ(h) dapat dihitung untuk setiap h > 0 dan tujuannya adalah menghampiri L secara akurat menggunakan ϕ.
Pilih suatu nilai h, dan hitung bilangan-bilangan :
sehingga berdasarkan persamaan (b) diperoleh :
Dengan A(k,0) = - a2k
Hampiran yang lebih akurat dapat diperoleh melalui Ekstrapolasi Richardson dengan formula :
3.3 Interpolasi Polinomial
Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, Pn(xn,yn) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
y = a0 + a1x + a2x2 + … + an-1xn-1
Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:
y1 = a0 + a1x1 + a2x12 + … + an-1x1n-1
y2 = a0 + a1x2 + a2x22 + … + an-1x2n-1
y3 = a0 + a1x3 + a2x32 + … + an-1x3n-1
………………………………………
yn = a0 + a1xn + a2xn2 + … + an-1xnn-1
Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan.
Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut.
Cara penyelesaian Interpolasi Polinomial adalah :
Langkah pertama : menentukan jumlah nilai n yang diketahui
Langkah kedua : memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = ( xi , yi ) untuk i = 1, 2, 3, . . . , n
Langkah ketiga : menyusun matrik augmented dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut :
Langkah keempat : menyelesaikan persamaan simultan dengan matrik augmented di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/ metode eliminasi Gauss-Jordan
Langkah kelima : menyusun koefisien fungsi polinomial berdasarkan penyelesaian persamaan simultan diatas,
a = { ai ai = J (I,n), 0 ≤ I ≤ n – 1 }
Langkah keenam : memasukkan nilai x dari titik yang diketahui
Langkah ketujuh : menghitung nilai y dari fungsi polinomial yang dihasilkan
3.3.1 Interpolasi linier
Persamaan interpolasi linier :
Dapat dituliskan dalam bentuk umum seperti persamaan :
Sebelum menganalisa kesalahan yang dihasilkan dalam interpolasi linier perhatikan contoh sederhana berikut. Misal harga y = x2 ditabelkan untuk semua bilangan x bulat. Tabel 4.8 digunakan untuk menghitung kuadrat 6,5.
Dengan menggunakan persamaan :
Harga yang tepat untuk (6,5)2 adalah 42,25, maka kesalahan yang ditimbulkan adalah :
Ea = 42,25 – 4,5 = -0,25
Cara penyelesaian interpolasi linier :
Langkah pertama : tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)
Langkah empat : tampilkan nilai titik yang baru. Carilah nilai f(x) untuk x = 1,53 dari jika diketahui titik P1(1, 2,789) dan titik P2(2, 2,989) dengan menggunakan interpolasi linier.
Penyelesaian :
Langkah pertama : tentukan dua titik yang diketahui , yaitu P1(1, 2,789) dan P2(2, 2,989)
Langkah kedua : nilai fungsi yang dicari pada titik x = 1,53
Langkah ketiga : hitung nilai y dengan persamaan (4.5)
Jadi untuk x = 1,53 didapatkan nilai f(x) = 2,895
3.3.2 Interpolasi kuadrat
Dalam banyak kasus interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang akan diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi liniernya. Dalam kasus semacam ini dapat digunakan polinomial lainnya, derajat kedua atau lebih untuk mendekati fungsi. Semakin tinggi derajat polinomial yang digunakan maka semakin kecil besar kesalahan yang akan timbul.
Persamaan sampai tiga suku pertama akan menghasilkan :
Yang disebut interpolasi kuadrat yang ditulis dalam bentuk umum ditunjukkan pada persamaan :
Atau
Dari penurunan persamaan interpolasi kuadrat terlihat xi+2 – xi+1 tidak perlu berjarak sama dengan xi+1 – xi.
Cara penyelesaian interpolasi kuadrat :
Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.
Langkah keempat : tampilkan nilai x dan y
Contoh :
Carilah nilai fungsi f(x) untuk x = 2,05 dengan menggunakan metode interpolasi kuadrat berdasarkan data pada table 4.9 berikut :
Langkah pertama : tentukan 3 titik input P1(x1, y1) P2 (x2, y2) dan P3(x3,y3)
P1(x1, y1) = (1,9 , 2,31709)
P2(x2, y2) = (2,1 , 3,27194)
P3(x3,y3) = (2,5 , 5,72682)
Langkah kedua : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari x = 2,05
Langkah ketiga : hitung nilai y dari titik yang akan dicari menggunakan rumus interpolasi kuadrat persamaan.
Jadi nilai fungsi f(2,05) = 3,01612
3.4 Interpolasi Lagrange
Interpolasi lagrange digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik hasil pengamatan data yang berjarak tidak sama atau interval antar variabel bebas tidak seragam. Jika fungsi y diberikan sebagai berikut :
Persamaan ini disebut persamaan lagrange untuk interpolasi. Variabel bebas dalam rumus tidak diperlukan perbedaan fungsi sehingga hasil yang diperoleh tidak dapat diperiksa ketelitiannya.
Metode lagrange mempunyai beberapa kelebihan, yaitu :
1. Interpolasi metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h konstan) ataupun non-equispaced (h tidak konstan).
2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan interpolasi balik.
3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di daerah awal, akhir ataupun tengah.
4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam penyelesaian persoalannya, sehingga langkah penyelesaian persoalan akan menjadi mudah.
Sedangkan kekurangannya adalah jika nilai variabel dn nilai fungsi yang ada dalam tabel jumlahnya banyak maka perhitungan dengan persamaan akan cukup komplek.
Cara penyelesaian interpolasi lagrange :
Langkah pertama : tentukan jumlah titik (n) yang diketahui
Langkah kedua : tentukan titik - titik i i i P x , y yang diketahui dengan i = 1, 2, 3, ...n
Langkah ketiga : tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
Langkah keempat : hitung nilai y dari titik yang dicari dengan persamaan.
Langkah kelima, tampilkan nilai x dan y
Contoh :
Tentukan polinomial derajat tiga yang diambil dari nilai-nilai sebagai berikut :
Penyelesaian :
METODE NUMERIK
BAB II
PERSAMAAN NON-LINIER
Didalam matematika aplikasi pencarian akar persamaan f(x) = 0 sering dijumpai. Biasanya jawaban analitis dari persamaan di atas tidak ada, sehingga harus dicari jawaban numeriknya yang biasa dilaksanakan dengan metode iterasi.
2.1 Metode Bagi Dua (Bisection)
Pada umumnya, jika f(x) nyata/ real dan kontinu dalam interval dari Xl hingga Xu, serta f(Xl) dan f(Xu) berlainan tanda, yakni :
f(Xl) f(Xu) ˂ 0
Maka terdapat sekurang-kurangnya 1 akar nyata diantara Xl dan Xu.
Metode Bagi Dua ( bisection ) disebut juga pemotongan biner, pembagian dua, atau metode Bolzano, yaitu suatu jenis pencarian inkremental dimana interval senantiasa dibagi separuhnya. Jika suatu fungsi berubah tanda sepanjang suatu interval, harga fungsi ditengahnya dievaluasi. Letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah subinterval di mana perubahan tanda terjadi. Proses ini diulangi untuk memperoleh taksiran yang diperhalus.
2.1.1 Langkah-langkah Penyelesaian Bisection :
Step 1 : Pilih taksiran terendah Xl dan tertinggi Xu untuk akar agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Ini dapat diperiksa dengan : f(Xl) f(Xu) ˂ 0.
Step 2 : Taksiran pertama akar Xr ditentukan oleh :
Step 3 : Buat evaluasi yang berikut untuk menentukan subinterval, dimana dalam akar terletak :
a. Jika f(Xl) f(Xr) ˂ 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka Xu = Xr, dan Lanjutkan ke step 2.
b. Jika f(Xl) f(Xu) ˃ 0, akar terletak pada subinterval ke dua, maka Xl = Xr, dan lanjutkan ke step 2.
c. f(Xl) f(Xu) = 0, akar = Xr, kumputasi selesai.
Contoh :
Gunakan metode bagi dua untuk menentukan akar dari f(x) = e-x – x. Harga akar terletak diantara 0 dan 1. Karenanya interval awal dapat dipilih dari Xl = 0 hingga Xu = 1. Dengan sendirinya, taksiran awal akar terletak di tengah interval tersebut :
Taksiran ini menunjukkan kesalahan dari (harga sebenarnya adalah 0,56714329...):
Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329
Atau dalam bentuk relatif :
Dimana index t menunjukkan bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarnya. Lalu :
f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653
yang lebih besar dari 0, dengan sendirinya tak ada perubahan tanda terjadi antara Xl dan Xr. Karena itu, akar terletak pada interval antara X = 0,5 dan 1,0. Batas bawah didefinisikan lagi sebagai Xl = 0,5 dan taksiran akar untuk iterasi kedua dihitung sebagai :
Proses dapat dilanjutkan lagi ke iterasi ketiga :
f(0,5) f(0,75) = -0,030 ˂ 0
Karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,75 :
Xu = 0,75
Dan iterasi keempatnya :
f(0,5) f(0,625) = -0,010 ˂ 0
karenanya akar terletak diantara 0,5 dan 0,625.
Xu = 6,25
Metode ini dapat diulangi lagi untuk memperoleh taksiran yang lebih halus.
2.1.2 Kriteria Berhenti dan Taksiran Kesalahan
Dari contoh sebelumnya, dicoba menetukan saat berhentinya komputasi yang dilakukan. Diasumsikan bahwa kita akan berhenti jika angka kesalahan turun di bawah nilai tertentu, misal 0,1 %.
Strategi ditempuh karena taksiran kesalahan dalam contoh dihitung setelah sebelumnya kita sudah mengetahui akar sesungguhnya dari fungsi itu. Ini bukanlah merupakan realitas yang gampang ditemui, karenanya tak ada gunanya pemakaian metode ini jika akarnya telah kita ketahui.
Maka diperlukan suatu taksiran kesalahan dimana kita tak tahu mengenai akar sebelumnya.
Sehingga kesalahan relatif aproksimasinya adalah :
Dimana Xr baru adalah akar dari iterasi sekarang dan Xr lama adalah akar dari iterasi sebelumnya.
Harga absolut dipakai karena kita biasanya cenderung memakai besarnya a ketimbang tandanya. Bila │a│ lebih kecil daripada suatu angka tertentu (s), maka komputasi dihentikan.
Pada contoh sebelumnya, dengan menggunakan rumus didapat hasil-hasil seperti tabel di bawah ini.
Iterasi Xr │t│% │a│%
1 0,5 11,8 -
2 0,75 32,2 33,3
3 0,625 10,2 20,0
4 0,5625 0,819 11,1
5 0,59375 4,69 5,3
a tak memberikan taksiran pasti dari kesalahan sebenarnya, gambaran di atas menyarankan secara umum bahwa a cenderung ke arah bawah t. Jug a selalu lebih besar dari t.
Jadi bila a jatuh di bawah s, komputasi dihentikan dengan keyakinan bahwa akar telah diketahui sekurangkurangnya sama telitinya dengan tingkat penentuan awal yang dapat diterima.
2.2 Metode Regulasi Falsi (False Position)
Disebut juga metode interpolasi linier.
Contoh :
Gunakan regulasi falsi untuk menentukan akar dari f(x) = e-x – x. Akar sesungguhnya 0,56714329. Dengan Xl = 0 dan Xu = 1.
Iterasi pertama.
Xl = 0 f(Xl) = 1
Xu = 1 f(Xu) = -0,63212
Iterasi kedua.
F(Xl) f(Xr) = -0,0708 akar pada subinterval I. Xr ada dibatas atas berikutnya.
Xl = 0 f (Xl) = 1
Xu = 0,6127 f (Xu) = -0,0708
Dst.
Kesalahan untuk regulasi falsi berkurang lebih cepat daripada bagi dua disebabkan rancangan yang lebih efisien untuk penempatan akar dalam regulasi falsi.
2.3 Metode Secant
Masalah yang didapat dalam metode newton-raphson adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f’(x). Sehingga dengan jalan pendekatan :
Didapat :
Persamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran awal X, tetapi karena f(x) tidak memerlukan perubahan tanda diantara taksiran, maka secant bukan merupakan metode akolade.
Contoh :
Pernyataan masalah : taksiran akar dari f(x) = e-x – x menggunakan metode secant dan taksiran awal X-1 = 0 dan X0 = 1,0
Penyelesaian :
Ingat bahwa akar sesungguhnya adalah 0,56714329…
Iterasi 1 :
X-1 = 0 f(X-1) = 1,000000
X0 = 1,0 f(X0) = -0,63212
Iterasi 2 :
X0 = 1 f(X0) = -0,63212
X1 = 0,61270 f(X1) = -0,07081
Kedua taksiran sekarang pada ruas akar yang sama.
Iterasi 3 :
X1 = 0,61270 f(X1) = -0,07081
X2 = 0,56384 f(X2) = 0,00518
2.4 Metode Iterasi Titik Tetap
Mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sehingga x berada pada ruas kiri persamaan :
x = g (x)
Transformasi ini dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar atau penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan. Misal :
X2 – 2X + 3 = 0 2X = X2 + 3
Persamaan di atas dapat memperkirakan sebuah harga X, sebagai fungsi dari X. Jadi, dengan adanya tebakan awal Xi, dapat dihitung suatu taksiran baru Xi+ 1 yang dinyatakan :
Xi+1 = g (Xi)
Seperti rumus iterasi lain, maka kesalahan aproksimasinya :
Contoh :
Gunakan iterasi satu titik untuk menempatkan akar dari
Penyelesaian :
Fungsi dapat dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai
Dimulai dari tebakan awal X0 = 0. Maka didapat hasil seperti diperlihat pada tabel di bawah ini.
Iterasi Xi │t│% │a│%
0 0 100 -
1 1,000000 76,3 100,0
2 0,367879 35,1 171,8
3 0,692201 22,1 46,9
4 0,500473 11,8 38,3
5 0,606244 6,89 17,4
Dst.
2.5 Metode Newton-Raphson (NR)
Contoh :
Pernyataan masalah : gunakan NR untuk menaksir akar dari
dengan X0 = 0.
Penyelesaian :
Turunan pertama dari fungsi adalah :
Yang dapat disubtitusikan ke dalam persamaan :
Dimulai dari tebakan awal X0 = 0, didapatkan hasil seperti disajikan pada tabel berikut ini.
Iterasi, i Xi │t│%
0 0 100
1 0,500000000 11,8
2 0,566311003 0,147
3 0,567143165 0,000022
4 0,567143290 ˂ 10-8
2.6 Sistem Persamaan Linier
Sistem persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n variabel dari m persamaan adalah sebagai berikut :
Pada contoh di atas, x1, x2, ..., xn adalah variabel-variabel yang tidak diketahui nilainya, dan a11,a12, ..., amn adalah koefisien-koefisien dari sistem persamaan tersebut, sedangkan b1, b2, ..., bm adalah konstanta.
2.7 Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi gauss digunakan untuk mencari akar sistem persamaan linier.
Contoh :
2x1 – 7x2 + 4x3 = 9
x1 + 9x2 - 6x3 = 1
-3x1 + 8x2 + 5x3 = 6
Persamaan diatas dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut :
Untuk menjelaskan eliminasi gauss, maka dibentuk suatu matriks sebagai berikut :
Kita kalikan baris 1 dengan ½, tambahkan (-1 x baris 1 yang baru) kepada baris 2, dan tambahkan (3x baris 1 yang baru) kepada baris 3.
Operasi di atas sama dengan pembentukan/pengubahan sistem persamaan asli menjadi :
Perhatikan operasi diatas jika ditulis dalam bentuk matriks adalah :
Selanjutnya dilakukan operasi sebagai berikut: kalikan baris 2 dengan 2/25 dan tambahkan (5/2 x baris 2 yang baru) kepada baris 3.
Operasi terakhir mengubah persamaan menjadi :
Kalikan baris 3 dengan 5/47. Tambahkan ke baris 2: (16/25 x baris 3 yang baru). Tambahkan ke baris 1: (-2 x baris 3 yang baru).
Akhirnya tambahkan ke baris 1: (7/2 x baris 2)
Jadi sistem persamaan menjadi x1= 4, x2= 1, x3 =2
dan invers matriks [B] adalah
Jadi kalau di ‘resume’
2.8 Metode Cramer
Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu system persamaan linier berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A) = 0 .
Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal. Diketahui suatu sistem persamaan linier berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) = 0 sedangkan nilai x dan b adalah :
Maka penyelesaian untuk X adalah :
Ai adalah matriks A yang kolom ke-i nya diganti dengan vektor b .
Contoh :
Diketahui sistem persamaan linier berbentuk
a. Periksa apakah metode cramer dapat digunakan?
b. Jika bisa, tentukan penyelesaian untuk ?
Penyelesaian :
2.9 Metode Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).
Metode eliminasi Gauss-Jordan kurang efisien untuk menyelesaikan sebuah SPL, tetapi lebih efisien daripada eliminasi Gauss jika kita ingin menyelesaikan SPL dengan matriks koefisien sama.
Contoh :
X1 + 2X2 + X3 = 2
3X1 + 6X2 = 9
2X1 + 8X2 + 4X3 = 6
Penyelesaian :
1 2 1 2
3 6 0 9 -3b1 + b2
2 8 4 6 -2b1 + b3
1 2 1 2
0 0 -3 3 b2 & b3 ditukar tempat
0 4 2 2
1 2 1 2
0 4 2 2 ¼ b2
0 0 -3 3
1 2 1 2 -2b2 + b1
0 0 -3 3
0 4 2 2
1 0 0 1
0 1 ½ ½
0 0 -3 3 -1/3 b3
1 0 0 1
0 1 ½ ½ -½b3 + b2
0 0 -3 -1
1 0 0 1 X1 = 1
0 1 0 1 X2 = 1
0 0 1 -1 X3 = -1
2.10 Iterasi Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.
Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Bila diketahui system persamaan linier sebagai berikut :
Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi:
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.
Catatan: Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii). Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusunan yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan linier:
Penyelesaian :
Nilai iterasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai iterasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:
METODE NUMERIK
BAB I
PENDAHULUAN METODE NUMERIK
1.1 Pengertian Metode Numerik
Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika.
Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.
Jadi, Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai elternative penyelesaian persoalan tersebut.
1.2 Pendekatan dan Kesalahan
1.2.1 Akurasi dan Presisi
Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan/pengukuran terhadap harga sebenarnya atau dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan Inakurasi (tdk akurat). Simpangan sistematis dari kebenaran.
Presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi. Pemakaian jangka sorong mempunyai presisi yang lebih tinggi.
1.2.2 Kesalahan (Error)
Timbul dari penggunaan aproksimasi meliputi 2 hal, yaitu :
• Kesalahan Pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
• Kesalahan Pembulatan (Round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.
Harga sebenarnya = aproksimasi + error
Et = harga sebenarnya – aproksimasi
dimana, Et = harga pasti error, dengan t berarti true.
Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya :
Kesalahan
Kesalahan Relatif Fraksional = ------------------------
Harga sebenarnya
Bila dinyatakan dalam persentase :
error sebenarnya
et = ------------------------- x
harga sebenarnya
dimana, et = error relatif persen sebenarnya
Contoh Perhitungan Error :
Terdapat tugas untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku keling. Didapat harga 9.999 dan 9 cm. Jika harga sebenarnya adalah 10.000 dan 10 cm, maka hitunglah (a) error dan (b) error relatif persen, untuk setiap kasus.
(a) Untuk jembatan Et¬ = 10.000 – 9.999 = 1 cm
Untuk Paku keling Et = 10 – 9 = 1 cm
(b) Untuk jembatan
Untuk Paku keling
Jadi, walau sama-sama error 1 cm, tetapi pengukuran dikatakan lebih baik untuk jembatan.
Alternatif lain untuk menormalisasi error dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga sebenarnya, yaitu :
Dengan a menandakan aproksimasi.
Taksiran kesalahan ditentukan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Misalnya metnum tertentu memakai pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Maka aproksimasinya dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya, dan proses ini dilakukan secara berulang.
Proses iterasi/ perulangan berakhir pada suatu nilai ϵs , yaitu : persentase toleransi praspesifikasi.
│ϵa │ ˂ ϵs
1.2.3 Kesalahan Numerik Total
Kesalahan Numerik Total adalah penjumlahan dari kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan.
1.2.4 Angka Signifikan
Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0. Untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik decimal atau untuk mengisi tempat 2 dari digit yang tidak diketahui/dibuang.
Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :
Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan Karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.
Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum :
Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.
SKALA PENGUKURAN DAN INSTRUMEN PENELITIAN
Dalam penelitian kuantitatif, peneliti akan menggunakan instrumen untuk mengumpulkan data, sedangkan dalam penelitian kuantitatif peneliti akan lebih banyak menjadi instrumen, karena penelitian kualitatif peneliti merupakan key instrument.
Instrumen penelitian digunakan untuk mengukur variabel yang diteliti, sehingga jumlah instrumen yang akan digunakan untuk penelitian akan tergantung pada jumlah variabel yang diteliti. (Bila variabelnya 5 maka instrumen yang akan digunakan juga 5).
A. Skala Pengukuran
Skala pengukuran merupakan kesepakatan yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan panjang pendeknya interval yang ada dalam alat ukur, sehingga alat ukur tersebut bila digunakan dalam pengukuran akan menghasilkan data kuantitatif.
1. Skala Likert
Digunakan untuk mengukur sikap, pendapat danpersepsi seseorang atau sekelompok orang tentang fenomena. Variabel yang akan diukur dijabarkan menjadi indikator variabel. Kemudian indikator tersebut dijadikan sebagai titik tolak untuk menyusun item-item instrumen yang dapat berupa pernyataan atau pertanyaan. Jawaban setiap item instrumen yang menggunakan skala likert mempunyai gradasi dari sangat positif sampai sangat negatif. Untuk keperluan analsisi kuantitatif, jawaban itu dapat diberi skor (1 – 5 atau disesuaikan dengan kebutuhan).
a. Contoh bentuk checklist
• SS Sangat setuju skor 5
• ST Setuju skor 4
• RG ragu-ragu skor 3
• TS Tidak setuju skor 2
• STS Sangat Tidak setuju skor 1
Pertanyaan Jawaban
SS ST RG TS STS
1 Prosedur kerja yang baru akan segera diterapkan di perusahaan
2 ………………..
Bila kuesioner tersebut diberikan kepada 100 orang, yang jawabannya sebagai berikut :
• 25 orang menjawab SS
• 40 orang menjawab ST
• 5 orang menjawab RG
• 20 orang menjawab TS
• 10 orang menjawab STS
Berdasarkan jumlah skor yang telah ditetapkan maka :
Jumlah skor untuk :
• 25 orang x 5 = 125
• 40 orang x 4 = 160
• 5 orang x 3 = 15
• 20 orang x 2 = 40
• 10 orang x 1 = 10
Jumlah skor ideak (kriterium) untuk seluruh item adalah :
5 x 100 orang = 500 (SS)
Jumlah skor terendah
1 x 100 orang = 100 (STS)
Jadi berdasarkan data tersebut maka tingkat persetujuan terhadap metode kerja baru itu :
(350 : 500) x 100% = 70%
b. Bentuk pilihan ganda
1. ProsedurProsedur kerja yang baru akan segera diterapkan di perusahaan anda?
• Sangat Setuju
• Setuju
• Ragu-ragu
• Tidak Setuju
• Sangat tidak setuju
2. Skala Guttman
Dengan skala ini, akan diperoleh jawaban yang tegas yaitu Ya - Tidak, Benar - Salah dan lain-lain. Penelitian menggunakan skala Gutman dilakukan bila ingin mendapatkan jawaban yang tegas terhadap suatu permasalahan yang ditanyakan. Skala ini dpat pula dibentuk dalam bentuk checklist atau pilihan ganda. Skor 1 untuk skor tertinggi dan skor 0 untuk terrendah. (Analisa seperti pada skala likert).
Contoh :
1. Apakah anda Setuju dengan kebijakan perusahaan menaikkan harga jual?
a. Setuju
b. Tidak Setuju
3. Semantic Deferential
Skala ini digunakan untuk mengukur sikap, hanya bentuknya tidak pilihan ganda maupun checklist, tetapi tersusun dalam satu garis kontinum yang jawabannya sangat positifnya terletak dikanan garis, dan jawaban yang sangat negatif terletak dibagian kiri garis atau sebaliknya. Data yang diperoleh adalah data interval dan baisanya skala ini digunakan untuk mengukur sikap/karakteristik tertentu yang dipunyai oleh seseorang.
Responden dapat memberi jawaban pada rentang jawaban yang positif sampai dengan neagtif.
Contoh :
Beri nilai gaya kepemimpinan Manajer anda
Bersahabat 5 4 3 2 1 Tidak Bersahabat
Tepat janji 5 4 3 2 1 Tidak tepat janji
Memberikan kepercayaan pada staf 5 4 3 2 1 Mendominasi staf
4. Rating Scale
Pada rating scale, data mentah yang diperoleh berupa angka kemudian ditafsirkan dalam pengertian kualitatif.
Responden menjawab, senang atau tidak senang, setuju atau tidak setuju adalah merupakan data kualitatif. Dalam skala ini responden tidak menjawab salah satu dari jawaban kualitatif yang disediakan, tetapi mejawab salahs atu dari jawaban kuantitatif yang telah disediakan.
Contoh:
Seberapa baik ruang kerja yang ada di perusahaan anda?
Beri jawaban angka :
• 4 bila tata ruang itu sangat baik
• 3 bila tata ruang itu cukup baik
• 2 bila tata ruang itu kurang baik
• 1 bila tata ruang itu sangat tidak baik
jawablah dengan melingkari nomor jawaban yang tersedia :
No. Item Pertanyaan tata ruang kantor Interval jawaban
1 Penataa meja kerja sehingga arus kerja menjadi pendek 4 3 2 1
2 Pencahayaan alam tiap ruangan 4 3 2 1
3 …………….
Pada makalah ini, diharapkan mahasiswa akan mampu :
• Menjelaskan tentang macam-macam skala
• Pengukuran.
• Menguraikan tentang instrumen penelitian.
• Menyusun kuesioner
• Outline Materi
• Macam-macam Skala Pengukuran
• Instrumen Penelitian
• Validitas dan Reliabilitas Instrumen
• Penyusunan Kuesioner
1.Macam-Macam Skala
• Pengukuran
Skala Pengukuran merupakan kesepakatan yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan panjang pendeknya interval yang ada dalam alat ukur, sehingga alat
ukur tersebut bila digunakan dalam pengukuran akan menghasilkan data kuantitatif.
• Macam-macam Skala Pengukuran :
1.Skala Nominal : adalah skala pengukuran yang menyatakan kategori atau kelompok dari suatu subyek.
Contoh jenis kelamin responden. Laki-laki = 1 ; Wanita = 2
2.Skala Ordinal : adalah skala pengukuran yang meyatakan kategori sekaligus melakukan rangking terhadap kategori.
Contoh : kita ingin mengukur preferensi responden terhadap empat merek produk air mineral.
Merek Air Mineral Rangking
Aquana 1
Aquaria 2
Aquasan 3
Aquasi 4
3. Skala Interval merupakan skala pengukuran yang banyak digunakan untuk
mengukur fenomena/gejala sosial, dimana pihak responden diminta melakukan
rangking terhadap preferensi tertentu sekaligus memberikan nilai (rate) terhadap
preferensi tersebut. Jenis skala yang dapat digunakan untuk penelitian sosial,yaitu
: a. Skala Linkert. b. Skala Guttman. c.Rating Scale. d. Semantic Defferential.
a. Skala Linkert : digunakan untuk mengukur sikap, pendapat dan persepsi
seseorang atau sekelompok orang tentang fenomena sosial. Contoh :
. Preferensi Preferensi Preferensi
1.Sangat Setuju 1.Setuju 1. Sangat Positif
2.Setuju 2.Sering 2. Positif
3.Ragu-ragu 3.Kadang-kadang 3. Netral
4.Tidak Setuju 4.Hampir tdk pernah 4. Negatif
5.Sangat Tdk Setuju 5.Tidak Pernah 5.Sangat Negatif
Untuk keperluan analisis kuantitatif, maka jawaban tersebut diberi nilai skor,
Misalnya : sangat setuju/setuju/sangat positif diberi skor 5, selanjutnya
setuju/sering/positif diberi skor 4 dan seterusnya.
Macam-Macam Skala Pengukuran
(3)
b. Skala Gutmann :suatu pengukuran untuk memperoleh jawaban responden yang
tegas, yaitu : “ya-tidak” ; “pernah-tidak pernah”
“positif-negatif”; “setuju-tidak setuju” Contoh :
Bagaimana pendapat anda, bila Tn X menjabat pimoinan di
perusahaan ini ?
a. Setuju
b. Tidak Setuju
c. Sematic Defferential :suatu skala pengukuran yang disusun dalam suatu garis
dimana jawaban sangat positif terletak dibagian kanan garis, sedangkan jawaban
sangat negatif terletak dibagian kiri garis atau sebaliknya.
d. Rating Scale : suatu skala pengukuran dimana responden menjawab salah satu
jawaban kuantitatif yang disediakan.
4. Skala Rasio : adalah skala interval yang memiliki nilai dasar (based value) yang tidak
dapat diubah. Contoh : umur responden memiliki nilai dasar nol.
Instrumen Penelitian
• Instrumen Penelitian : adalah suatu alat yang digunakan untuk mengukur
fenomena alam maupun sosial yang diamati.
• Instrumen yang digunakan untuk mengukur fenomena alam misalnya :
panasèCalorimeter; suhu è termometer; panjang èmistar (meteran) dan
sebagainya. Instrumen-instrumen tersebut mudah didapat dan telah teruji
validitas dan reliabilitasnya.
• Instrumen yang digunakan untuk mengukur fenomena sosial umumnya dan
bidang ekonomi dan bisnis khususnya yang sudah baku sulit ditemukan.
Untuk itu peneliti harus mampu membuat instrumen yang akan digunakan
dalam penelitian.
Misalnya bentuk instrumen : 1)Checklist 2)Pilihan Ganda 3) Rating Scale.
• Bentuk instrumen yang dipilih antara lain tergantung pada metode
pengumpulan data yang akan digunakan seperti : angket (kuesioner),
observasi dan wawancara (interview).
Validitas dan Reliabilitas
Instrumen (1)
• Instrumen yang valid berarti alat ukur yang digunakan untuk mendapatkan
data (mengukur) itu valid. Valid berarti instrumen tersebut dapat digunakan
untuk mengukur apa yang seharusnya diukur.
• Jenis Validitas :
1. Validitas Isi (Content Validity) : instrumen yang berbentuk test yang sering
digunakan untuk mengukur prestasi belajar (achievement) dan mengukur
efektivitas pelaksanaan program dan tujuan.
2. Validitas Konstruk (Construct Validity) :Jika instrumen dapat digunakan
untuk mengukur gejala sesuai dengan yang didefinisikan sesuai dengan
teori-teori yang relevan.
3. Validitas yang berkaitan dengan kriteria (Criterion-related Validity) :
Terjadi ketika sebuah instrumen membedakan individual pada kriteria yang
akan diperkirakan.
Validitas dan Reliabilitas
Instrumen (2)
• Reliabilitas : menunjukkan konsistensi dan stabilitas dari suatu skor (skala
pengukuran). Realibilitas berbeda dengan Validitas, karena Reliabilitas
memusatkan perhatian pada masalah konsistensi sedangkan Validitas lebih
memperhatikan ketepatan.
• Stabilitas Ukuran : menunjukkan kemampuan sebuah ukuran (instrumen)
untuk tetap stabil.
• Reliabilitas Instrumen dapat diuji dengan : 1) Test-retest Reliability;
2)Equivalent / Paralel-form Reliability 3) Internal Consistency Reliability).
• Test-retest Reliability : dengan cara mencobakan instrumen beberapa kali
pada responden.
• Equivalent/Paralel-form Reliability :adalah pertanyaan dalam bentuk kalimat
yang berbeda tapi maksudnya sama.
• Internal Consistency Reliability :diuji dengan menganalisis yang ada pada
instrumen dengan teknik tertentu.
Penyusunan Kuesioner
• Kuesioner (Questionnaire) : merupakan alat/teknik untuk pengumpulan data yang dilakukan
dengan cara mengajukan seperangkat pertanyaan atau pernyataan tertulis kepada responden
untuk dijawabnya.
• Manfaat/Kegunaan Kuesioner : 1)membantu petugas lapangan (interviewer) dalam
pengumpulan data tentang hal-hal yang perlu ditanyakan kepada responden; 2)petugas lapangan
bisa secara sistematis dan berurutan dalam mengajukan pertanyaan; 3) pertanyaan yang
diajukan kepada responden oleh masing-masing petugas lapangan dapat diseragamkan,
sehingga data yang diperoleh bisa diperbandingkan satu sama lainnya.
• Prinsip Penyusunan Kuesioner : 1)Prinsip Penulisan Kuesioner;2)Prinsip Pengukuran ; 3)
Prinsip Penampilan Fisik.
• 1 Prinsip Penulisan Kuesioner. : a) Isi dan tujuan pertanyaan harus relevan; b) Bahasa yang
digunakan mudah dipahami; c) Tipe / bentuk pertanyaan : terbuka/tertutup , positif/negatif ;d)
Pertanyaan tidak boleh mendua (double barreled questions); e) Pertanyaan tidak menggiring
responden;f) Tidak menanyakan hal-hal yang sudah lupa; g) Pertanyaan tidak panjang dan
berbelit;h) Urutan pertanyaan dari hal yang umum menuju hal yang spesifik atau dari hal yang
mudah menuju hal yang sulit; i) Gunakan teknik skala yang relevan , seperti : rating scale (graphic
rating scales, itemized rating scale, comparative rating scale); attitude scale (linkert scale,
semantic differential).
• 2. Prinsip Pengukuran : sebagai instrumen penelitian, maka sebelum kuesioner diberikan
kepada responden harus diuji validitas dan reliabilitasnya terlebih dulu.
• 3. Prinsip Penampilan Fisik : kuesioner perlu dirancang dan didesain lebih menarik agar
responden senang dan serius dalam menjawab/mengisinya.
Sabtu, 19 Juni 2010
Senandung Rindu
Aku diam.
tak bergerak.
menunggu angin antarkan kau pulang.
sejurus mata memandang sayu.
setengah kantuk kuhitung rindu.
kulihat bintang yang selalu satu.
mana dirimu?kurebahkan diri pada kursi kayu itu.
yang selalu tersenyum melihat kau datang.
namun kini ia terbujur beku dingin dan kaku.
kembali padaku laksamana,
kita kembalikan derai canda yang tersapu badai.
kita naikan gemuruh cinta yang terhempas buih.
kita pancangkan janji.
kita sudahi penantian ini..
Selasa, 20 April 2010
Wanita Paling Berharga By Armada
Kan ku utarakan kepadamu
Semua yang ada di hatiku
Aku mencintai kamu
Dengarkan janjiku
Kan ku sayangi kau sampai akhir dunia
Dan ku jadikan kamu wanita
Paling bahagia di seluruh dunia
Karena kamulah satu-satunya
Jadi terimalah oh cintaku
Jangan kau patahkan hatiku
Aku mencintai kamu
Dengarkan janjiku
Kan ku sayangi kau sampai akhir dunia
Dan ku jadikan kamu wanita
Paling bahagia di seluruh dunia
Karena kamulah satu-satunya
Kan ku sayangi kau sampai akhir dunia
Dan ku jadikan kamu wanita
Paling bahagia di seluruh dunia
Karena kamulah satu-satunya
Jalan CintaKu
Apa yang harus ku lakukan.....???!???
Apa yang harus ku lakukan.....???!???
Apa yang harus ku lakukan.....???!???
itu lah yang selalu jadi pikiran ku setiap saat...!!!! Di suatu sisi aku sangat mencintainya, tapi di sisi lain aku sangat menderita oleh tingkah laku yang telah dia perbuat selama ini.
=> CURIGA.....perasan itu selalu menghapiri benak ku, selama aku jauh dari nya.. sungguh aku tak sanggup rasanya kalau rasa itu datang, segala sesuatu yang aku kerjakan selalu berakhir berantakan. aku benci rasa itu.... aku kesal klo dia datang....sungghu aku tak sanggup bila terus seperti ini. mungkin dengan inilah aku bisa tenang....
harus pisah dengannya, berusaha tuk melupakan nya..
dengan begini aku yakin rasa curiga ku tak kan lagi menyiksa pikiran ku.....!!
maafkan aku sayang, karna curiga ku yang berlebihan membuat mu sakit... sungguh ini keterpaksaan, karna aku juga gx tau harus gimana...
Cinta
Aku yang selama ini berkorban apapun untuk membahagiakkan mu, kini telah hilang begitu saja...... seolah2 tak berbekas..!!!!! ini semua emang salah ku, aku yang terlalu berlebihan kepada mu...
Mungkin suatu saat aku kan menyesal melihat mu bahagia dengan orang lain.. klo emg itu kan terjadi, kamu tenang ja... aku kan terima semua itu.. karna semua emang bermula pada ku yang telah menyianyiakan ketulusan cinta mu....
tapi sebelumnya kamu mesti tau... bahwa aku benar2 sangat mencintai mu..!!! ini semua terjadi karna kelemahan yang ku miliki, yang tidak bisa menghadapi nya.... sungguh aku hanya orang yang lemah...!!! bubu... maafi aku..??!!!?? kenangan kita tak kan ku lupakan.....
Cewek Lebih Pintar Berbohong
Penelitian yang dilakukan oleh Queen Margaret University College di Edinburgh. Robin Lickley, salah seorang peneliti, menyebutkan bahwa cowok itu akan cenderung lebih ragu termasuk mencari kata-kata buat menutupi jeda saat ia berbicara bohong. Tapi cewek lebih fasih bahkan di usia dini, jadi cewek lebih terlatih. Rata-rata seorang cowok akan memberikan tiga kali jeda saat ini bicara dalam 100 kata.Hasil penelitian mengungkapkan bahwa cowok membuat jeda yang lebih lama dibanding cewek. Artinya cowok lebih ragu-ragu untuk berbohong ketimbang cewek...!!! nah lo... bukan gw ni yang ngomong...
Hhmmmmmm.... mesti hati2 nie...
Tentang Waktu
Ambillah waktu untuk berfikir, itu adalah sumber kekuatan.
Ambillah waktu untuk bermain, itu adalah rahsia dari masa muda yang abadi.
Ambillah waktu untuk berdoa, itu adalah sumber ketenangan.
Ambillah waktu untuk belajar, itu adalah sumber kebijaksanaan.
Ambillah waktu untuk mencintai dan dicintai, itu adalah hak istimewa yang diberikan Tuhan.
Ambillah waktu untuk bersahabat, itu adalah jalan menuju kebahagiaan.
Ambillah waktu untuk tertawa, itu adalah musik yang menggetarkan hati.
Ambillah waktu untuk memberi, itu adalah membuat hidup terasa bererti.
Ambillah waktu untuk bekerja, itu adalah nilai keberhasilan.
Ambillah waktu untuk beramal, itu adalah kunci menuju syurga.
Berbahagialah...!!!
“Kebahagiaan yang hakiki sebenarnya terletak pada iman yang konsisten kepada Allah SWT. Orang yang memilikinya akan bahagia sepanjang hayat bahkan hingga di akhirat kelak”
“Jangan menjauh dari lingkunganmu karena kesendirian merupakan kerugian”
“Banyak orang mengatakan bahwa membantu orang lain merupakan obat paling mujarab untuk menggalau kesedihan”
“Jangan merasa gagal dan putus asa jika dirimu belum berhasil menyelesaikan suatu pekerjaan. Ketahuilah bahwa sesungguhnya sebuah pekerjaan besar tidak akan selesai dengan mudah”
“Yang lalu telah hilang dan yang mendatang belum terwujud. Harimu adalah yang sedang kau jalani sekarang”
Air Mata
Air Mata…
Setetes air yang selalu membasahi wajahku,
Air Mata…
Setetes air yang selalu membersihkan kotoran dalam hatiku,
Air Mata…
Setetes air yang selalu mengiringi langkahku menuju kebaikan,
Air Mata…
Setetes air yang menyadarkanku akan segala dosa yang telah kulakukan,
Air Mata…
Setetes air yang mengingatkanku akan rasa syukur terhadap pemberian-Nya,
Air Mata…
Setetes air yang mengalir ketika aku mengagumi seluruh cipta-Nya,
Air Mata…
Setetes air yang mengalir di saat aku merasa kesepian dalam menjalani hidup,
Air Mata…
Setetes air yang menjadikanku kuat di saat aku merasa rapuh ...
Menjaga Sebuah Harapan
Banyak kata terucap tak membuat kita selalu mengatakan yang terbaik,
Sedikit bertindak tak menjadikan kita kehilangan kesalahan,
Mulut mengucapkan sesuatu kadang tak pernah terpikirkan sebelumnya,
Kepercayaan kadang menghilangkan logika,
Harapan tersimpan haruslah dipelihara serta dijaga,
Walaupun dalam waktu yang tidak singkat menjaganya,
I v U
aku mencintaimu dengan jiwaku,
dalam segenap logika yang bersih,
dan pengorbanan yang nyata,
aku merindukanmu dengan keluguanku,
di atas kesetiaan yang selalu kokoh,
aku mencintaimu dengan kesendirian,
dan tak akan belajar tuk memilikimu,
jika kau tak sendiri lagi,
aku mencintaimu dengan hati yang bersih,
dan hanya akan terus mencintaimu,
jika kau memang masih sendiri..!!!