METODE NUMERIK

BAB I

PENDAHULUAN METODE NUMERIK


1.1 Pengertian Metode Numerik
Metode Numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmatika.
Alasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu memiliki penyelesaian atau tidak.
Jadi, Jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat menggunakan metode numerik sebagai elternative penyelesaian persoalan tersebut.
1.2 Pendekatan dan Kesalahan
1.2.1 Akurasi dan Presisi
Akurasi mengacu pada seberapa dekat angka pendekatan/pengukuran terhadap harga sebenarnya atau dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan Inakurasi (tdk akurat). Simpangan sistematis dari kebenaran.
Presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang digunakan dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur. Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan mempunyai perbedaan nilai presisi. Pemakaian jangka sorong mempunyai presisi yang lebih tinggi.

1.2.2 Kesalahan (Error)
Timbul dari penggunaan aproksimasi meliputi 2 hal, yaitu :
• Kesalahan Pemotongan (truncation error), dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untk menyatakan suatu prosedur matematika eksak.
• Kesalahan Pembulatan (Round-off error), dihasilkan bila angka-angka aproksimasi dipakai untuk menyatakan angka-angka eksak.

Harga sebenarnya = aproksimasi + error
Et = harga sebenarnya – aproksimasi
dimana, Et = harga pasti error, dengan t berarti true.

Bila besaran diperhitungkan dengan menormalisasikan error terhadap harga sebenarnya :
Kesalahan
Kesalahan Relatif Fraksional = ------------------------
Harga sebenarnya

Bila dinyatakan dalam persentase :
error sebenarnya
et = ------------------------- x
harga sebenarnya

dimana, et = error relatif persen sebenarnya

Contoh Perhitungan Error :
Terdapat tugas untuk mengukur panjang sebuah jembatan dan sebuah paku keling. Didapat harga 9.999 dan 9 cm. Jika harga sebenarnya adalah 10.000 dan 10 cm, maka hitunglah (a) error dan (b) error relatif persen, untuk setiap kasus.

(a) Untuk jembatan Et¬ = 10.000 – 9.999 = 1 cm
Untuk Paku keling Et = 10 – 9 = 1 cm

(b) Untuk jembatan


Untuk Paku keling


Jadi, walau sama-sama error 1 cm, tetapi pengukuran dikatakan lebih baik untuk jembatan.
Alternatif lain untuk menormalisasi error dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga sebenarnya, yaitu :

Dengan a menandakan aproksimasi.

Taksiran kesalahan ditentukan tanpa pengetahuan mengenai harga sebenarnya. Misalnya metnum tertentu memakai pendekatan iterasi untuk menghitung jawaban. Maka aproksimasinya dibuat berdasarkan suatu aproksimasi sebelumnya, dan proses ini dilakukan secara berulang.



Proses iterasi/ perulangan berakhir pada suatu nilai ϵs , yaitu : persentase toleransi praspesifikasi.
│ϵa │ ˂ ϵs

1.2.3 Kesalahan Numerik Total
Kesalahan Numerik Total adalah penjumlahan dari kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan.
1.2.4 Angka Signifikan
Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0. Untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika digunakan untuk menentukan titik decimal atau untuk mengisi tempat 2 dari digit yang tidak diketahui/dibuang.
Sebagai contoh perhatikan nilai pada penggaris :



Nilai yang ditunjuk tidak tepat pada angka yang ditentukan Karena selisih 1 strip, dalam kejadian ini bila dianggap nilai signifikan = 1 maka nilainya 59 atau 60.
Bila penggaris tersebut dilihat dengan skala lebih besar pada daerah yang ditunjuk oleh jarum :







Dari gambar ini, dengan nilai signifikan 10-1 (0,1) maka diperoleh nilainya 59 atau 59,5.